சென்ற வாரக் கேள்வியை நினைவுபடுத்திக்கொள்ளுங்கள். '27 ஆப்பிள் பழங்கள் தொங்கும் ஒரு மரத்தில் எத்தனை ஆப்பிள்கள் இருக்கின்றன?' வழக்கம் போல இதற்கான பதிலை இறுதியில் காண்போம்.

ஆப்பிள் என்றவுடனே சிவப்பான பழம் உங்கள் கற்பனையில் பிம்பமாக உதித்திருக்குமே. கடவுள் தொடங்கிக் கைக்குழந்தை வரை அனைத்தையுமே பிம்பங்களாக, உருவமாகத்தான் நமது மூளை பதிந்துவைத்திருக்கிறது. இந்த உருவங்களையும் பிம்பங்களையும் கல்வியில் எப்படிப் பயன்படுத் துவது? மனித மனம் எல்லா நினைவுகளையும் தகவல்களையும் பிம்பங்களாக மாற்றியே சேமித்துக்கொள்கிறது. உதாரணமாக: 'போலீஸ்காரர்' என்ற வார்த்தையைக் கேள்விப்பட்டவுடனே நமக்கு காக்கி யூனிஃபார்மும் தொப்பியும் நினைவுக்கு வந்துவிடும். இதே போல் நாம் அறிந்துகொள்ளும் ஒவ்வொரு வார்த்தையும் உருவமாகப் புரிந்துகொள்ளப்படுகிறபோது கற்பனை செய்தல் (Imaging) என்பது கல்வியின் அடிப்படைகளில் ஒன்றாகிவிடுகிறது.

ஒரு குழந்தை பள்ளியில் சேர்ந்தவுடன்தான் கற்கத் தொடங்குகிறது என்பதில்லை. தனது பெற்றோர், உறவினர்கள் என்று அனைவரிடமும் 'வானம் ஏன் நீலமாக இருக்கிறது?', 'காக்கா ஏன் கறுப்பாக இருக்கிறது?' என்று சதா கேள்விகளால் துளைத்து, கற்றலைத் தொடங்கிவிடுகிறது. பள்ளி என்பது அதன் கற்றல் அறிவை மேலும் செழுமைப்படுத்துவதற்கு உதவும் ஒரு நிறுவனம் மட்டுமே. அதனாலேயே பெரும்பான்மையான கல்வியாளர்கள், குழந்தைகளுக்குத் தொடக்கக் கல்வியை அவர்கள் அறிந்த விஷயங்களில் இருந்தே தொடங்க வேண்டும் என்கிறார்கள்.

உதாரணமாக: குடிசைப் பகுதியில் இருந்து வருகிற குழந்தைக்கு அனா... ஆவன்னா சொல்லித் தருவது என்றால் எப்படி கற்றுத்தருகிறோம்? அனா, ஆவன்னாவை எழுத்து வடிவமாக எழுதி, அதை அப்படியே எழுதப் பழக்குகிறோம். ஆனால், அதற்கு மாறாக அதற்கு நன்கு அறிமுகமான வார்த்தையை எழுதி அதிலிருந்தே கற்பிக்கத் தொடங்கலாம். உதாரணமாக: அந்தக் குழந்தைக்கு 'குடிசை' என்கிற வார்த்தை தெரிகிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். 'குடிசை' என்கிற வார்த்தையை எழுதி, 'கு'வின் ககர வரிசை. 'டி'யின் டகரவரிசை, 'சை'யின் சகர வரிசை என்று நாம் உயிர்மெய் எழுத்துக்களைக் கற்றுக் கொடுக்கலாம். ஆனால் நாம் அ - அணில், ஆ-ஆடு என்று தொடங்கி, அந்த குழந்தை பார்த்தே இருக்காத ஒட்டகத்தையும், கிரைண்டர் காலத்தில் உரலையும் கற்றுக்கொடுக்கிறோம். அதற்கு மாறாக வாழ்க்கைச் சூழலில் இருந்து கல்வியைக் கற்றுக்கொடுக்கும்போது அது இன்னும் குழந்தைக்கு நெருக்கமாகிறது.

மேலும், அது கற்பனை செய்யும் ஆற்றலையும் வளர்க்கிறது. இது கல்விக்கு மட்டுமில்லாமல் வாழ்க்கையின் அடிப்படை விஷயங்களுக்கும் உதவும். கற்பனை செய்தல் (Imaging), தீர்வைக் கண்டறியும் திறனை வளர்த்துக்கொள்ள எப்படி உதவுகிறது என்பதற்காக நீங்களும் உங்கள் குழந்தைகளும் சேர்ந்து ஒரு விளையாட்டு விளையாடலாமே.

இப்போது விளையாட்டு:

ஓர் அறையில் 10 மாணவர்கள் இருக்கிறார்கள். ஒவ்வொரு மாணவரும் சக மாணவர்களுடன் கைகுலுக்க வேண்டும். மொத்தம் எத்தனை முறை அவர்கள் கை குலுக்கி இருப் பார்கள்?

தீர்வு:

இப்போது ஒரு வரைபடத்தை வரையுங்கள். Aவில் தொடங்கி J வரை 10 மாணவர்களைக் கொண்ட வரைபடத்தை இப்படி வரையலாம்.

இப்போது A மற்ற 9 பேருடன் கைகுலுக்குவதை இப்படிப் படமாக வரையலாமே.

A 9 பேருடன் கை குலுக்குவார் என்றால் B எத்தனை பேருடன் கைகுலுக்குவார்? ஏற்கெனவே A-யுடன் கை குலுக்கியது போக கூடுதலாக 8 பேருடன் கைகுலுக்குவார். எனவே, B-யிலிருந்து 8 கோடுகளை இணைத்து வரைய முடியும். அதேபோல் C-யிலிருந்து 7 கோடுகள், D-யிலிருந்து 6 கோடுகள் என்று வரைந்துகொண்டே போகலாம். இறுதியாக I-யிலிருந்து J-வுக்கு ஒரே ஒரு கோடுதான் வரைய முடியும். J-யிலிருந்து எந்தக் கோடும் வரைய முடியாது. ஆக மொத்தம் எத்தனை கை குலுக்கல்கள் என்று எப்படிக் கணக்கிடுவது? சிம்பிள். ஒவ்வொரு நபரிடமிருந்தும் எத்தனை கோடுகள் வரைய முடியும் என்று எண்ணுங்கள் 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45. ஆக மொத்தம் 45 கை குலுக்கல்கள். சாதாரணமாகக் கணக்கு போடுவதை விட கோடுகள் வரைந்து வரைபடத்தின் மூலம் கணக்கு போடுவது உற்சாகமாகவும் இருக்கும், விடையைக் கண்டுபிடிக்க எளிதாகவும் இருக்கும்..

இப்போது மாத்தி யோசிப்போம். அதே வரைபடத்தை வேறு மாதிரியாக வரைந்து பார்க்கலாம்.

யார் யாருடன் கைகுலுக்க முடியாது என்பதற்கு அடையாளமாக கட்டத்தில் X அடையாளத்தைப் போடுங்கள். அதாவது A, A வுடனே கை குலுக்க முடியாது. எனவே,

X கட்டங்களைத் தவிர மிச்சம்உள்ள கட்டங்களைப் பார்த்தால் இரண்டு முறை கைகுலுக்கப்பட்டதைக் குறிக்கின்றன. உதாரணமாக A, B யோடு கைகுலுக்கும் அதே நேரத்தில் B யும் A வோடு கை குலுக்கி உள்ளார். எனவே, மொத்தமுள்ள கட்டங்களைப் போல இரண்டு மடங்கு கைகுலுக்கல்கள் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. மொத்தம் 10 கட்டங்கள். அதன் இருமடங்கு 10*10=100. X அடையாளம் போடப்பட்ட கட்டங்கள், கை குலுக்க முடியாதவை என்பதால் அவற்றை 100-லிருந்து கழிக்க வேண்டும். X அடையாளம் போட்ட கட்டங்கள் 10. எனவே, 100-10=90. கட்டங்கள் இரண்டுமடங்காக இருப்பதால் சரியான விடையை அடைய அதை இரண்டால் வகுக்கவும். 90/2=45. இதை வைத்து நாம் ஒரு ஃபார்முலாவை உருவாக்கலாமே.

n- நம்பர்கள்(அ) எண்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

எனவே, தீர்வுக்கான ஃபார்முலா

இதை இப்படியும் எழுதலாம் இல்லையா,
n(n-1)/2.

ஆக, உங்கள் குழந்தைகள் ஃபார்முலாவை மனப்பாடம் செய்துகொண்டு கணக்குக்கு விடை கண்டுபிடிக்க வேண்டியது இல்லை. ஏனெனில், நூற்றுக்கணக்கான ஃபார்முலாக்களை மனப்பாடம் செய்து எல்லாம் ஒன்றோடு ஒன்று குழம்பி விடுவதற்கான வாய்ப்புகள் உண்டு. இன்னமும் பல மாணவர்களுக்கு கணக்கு கசப்பதற்குக் காரணமே இந்த ஃபார்முலாக்கள்தான். அதற்குப் பதிலாக ஒரு ஃபார்முலா எப்படி உருவாகிறது என்கிற அடிப்படையைத் தெரிந்துகொண்டால், தானாகவே ஃபார்முலா மனதில் தங்கிவிடும்.

வெறும் எண்களாகவும் எழுத்துக்களாகவும் ஃபார்முலாவை மனப்பாடம் செய்வதைவிட, கற்பனையின் மூலம் வரைந்து பார்த்துக்கொள்ளும்போது மிக எளிதில் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிக்கலாம். ஓகே, இப்போது ஆரம்பத்தில் கேட்ட கேள்விக்கு வருவோம். சாதாரணமாக 27 ஆப்பிள்கள் என்பது சரிதான். ஆனால், சராசரியாக ஒவ்வொரு ஆப்பிள் பழத்திலும் 5 முதல் 12 விதைகள் இருக்கின்றன.

நிகழ் தகவின்படி இவற்றில் பாதி விதைகள் முளைக்காமல் போனாலும் மீதியுள்ள விதைகள் புதிய ஆப்பிள்களை உற்பத்தி செய்யும் திறன் உடையவை. உண்மையைச் சொல்லப்போனால் ஒவ்வொரு ஆப்பிளிலும் குறைந்தபட்சம் இரண்டு ஆப்பிள் மரங்கள் இருக்கின்றன. இத்தகைய தொலைநோக்குதான் ஒரு மாணவனைத் திறனுள்ள மாணவனாக உருவாக்கும்.

தீர்வைக் கண்டறியும் திறன் (Problem Solving Skills) என்பதை மேலைநாடுகளில் ஒரு பாடமாகவே வைத்திருக்கிறார்கள். நமது நாட்டில் அப்படி இல்லை என்றபோதும் எல்லா வகையான போட்டித் தேர்வுகளிலும் இது அவசியமாகிறது. பன்னாட்டு நிறுவனங்களாக இருந்தாலும் சரி, அல்லது நம் நாட்டுப் பெரிய நிறுவனங்களாக இருந்தாலும் சரி, ஊழியர்களிடம் அவை எதிர்பார்ப்பது மூன்று விஷயங்களைத்தான். 1. பிரச்னைகளைத் தீர்க்கும் ஆற்றல் 2. டீம் வொர்க் 3. கம்யூனிகேஷன்.

சரி, இப்போது ஒரு சிம்பிள் கேள்வி. 11 லிட்டர் கேன், 5 லிட்டர் கேன் என்று இரண்டு கேன்கள் உள்ளன. இந்த இரண்டு கேன்களைக்கொண்டு துல்லியமாக 7 லிட்டர் அளவுக்கு நீரை அளந்து எடுக்க வேண்டும். எப்படி? யோசியுங்கள். ஒரு வாரம் டைம்!